初めての確率過程。

ある日、ある本を読んでいて、ある確率過程\(\hat{{\xi}} (t)\)について以下の特性関数が存在することを知りました。

\( < \exp \lbrack i \int_{-\infty}^{\infty} \phi (t) \hat{{\xi}} (t) dt \rbrack > \)

...。同時に、確率過程で学んだことを全て忘れている私がいることに気づきました。

確率過程とは

簡単に言うと、時間に依存する確率変数のようである。今の場合、t=0.1とすれば、確率変数\( \xi (0.1)\)が決まるということ。t=1,2,3,4,5,...と離散的なときは、離散時間に依存する確率過程となる。また、すべての\( \omega \in \Omega(母集団)\)に対して、関数(写像)

\( T\ni t \to \xi(t,\omega) \)

は、\( \xi(t)\)の経路という。

特性関数とは

その確率分布を完全に定義する関数である(from wiki)。正攻法では、平均やn次のモーメントを求めることが難しい場合に、特性関数を使うと、簡単に求めることができる。確率母関数やモーメント母関数と同じ考え方であると言える。

参考文献：

ゆらぎのエネルギー論 (新物理学叢書)

Basic Stochastic Processes: A Course Through Exercises (Springer Undergraduate Mathematics Series)

入門確率過程

入門 確率解析とルベーグ積分