生体分子のための粗視化とall-atomの両方を含むポテンシャルの開発(2014)
以下に書いたものは、論文を基にした私の理解なので、正確性を欠きます。正確な情報を知りたい場合は、下記の論文を参照してください。また、下記の論文の図を参照することで、理解が深まると思います。
Resolution-Adapted All-Atomic and Coarse-Grained Model for Biomolecular Simulations
前置き
生体分子の計算機シミュレーションは、近年急速に発展している。その発展は、計算機の性能の著しい向上によるが、その向上にも翳り(かげり)が見え始めた。なぜなら、CPUのクロック数が限界を見せ始めたからである。そのため、計算機の性能に頼らない計算機シミュレーションの手法の開発が急務となる。この論文では、系に存在する原子の相互作用を全て計算するのをやめ、ある原子から一定の距離離れた原子団を一つのビーズとして扱うことによって、相互作用に関わる計算量を減らす手法を提案した論文である。
方法
ある粗視化ビーズαを考えると、そのビーズの三次元座標は以下のようになる。(この方法のポイントとして、粗視化ビーズの作り方は何も述べていない。つまり、Martiniタイプやα炭素に粗視化ビーズを配置するなど、粗視化ビーズの配置は任意である。粗視化の度合いは任意である。)
\(\begin{eqnarray*}
{\bf R}_{\alpha}=\sum_{i \in \alpha}m_i{\bf r}_i/ \sum_{i \in \alpha}m_i
\end{eqnarray*}\)
ここで、αは粗視化粒子の番号を示し、iはその粗視化粒子に含まれる原子を示している。N個の粒子を含む系のハミルトニアンは{\bf R}_{\alpha}=\sum_{i \in \alpha}m_i{\bf r}_i/ \sum_{i \in \alpha}m_i
\end{eqnarray*}\)
\(
\begin{eqnarray*}
H=\sum_{i}^N \frac{p_i^2}{2m_i}+V({\bf r},{\bf R})
\end{eqnarray*}
\)
共有結合のエネルギー(bond,angle,dihedral)は、(all-atomのresolutionのみで決まる。)\begin{eqnarray*}
H=\sum_{i}^N \frac{p_i^2}{2m_i}+V({\bf r},{\bf R})
\end{eqnarray*}
\)
\(V^{cova}=V^{cova}_{AA}\)
となり、クーロン力や、ファンデルワールス力などの相互作用は\(
\begin{eqnarray*}
V^{nonb}(R_{\alpha\beta})=[1-\lambda(R_{\alpha\beta})]V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})+\lambda(R_{\alpha\beta})\sum_{i\in\alpha,j\in\beta}V^{nonb}_{AA}(r_{ij})
\end{eqnarray*}
\)
カップリングファンクションである\(\lambda(R_{\alpha\beta})\)はCG粒子間の距離のみに依存し、\begin{eqnarray*}
V^{nonb}(R_{\alpha\beta})=[1-\lambda(R_{\alpha\beta})]V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})+\lambda(R_{\alpha\beta})\sum_{i\in\alpha,j\in\beta}V^{nonb}_{AA}(r_{ij})
\end{eqnarray*}
\)
\(
\begin{eqnarray*}
\lambda(R_{\alpha\beta}) = \begin{cases}
1 & (R_{\alpha\beta}＜R_1) \\
f(R_{\alpha\beta},R_1,R_2) & (R_1\leq R_{\alpha\beta}\leq R_2)\\
0 &(R_{\alpha\beta}＞R_2)
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\)
スイッチング関数fは\begin{eqnarray*}
\lambda(R_{\alpha\beta}) = \begin{cases}
1 & (R_{\alpha\beta}＜R_1) \\
f(R_{\alpha\beta},R_1,R_2) & (R_1\leq R_{\alpha\beta}\leq R_2)\\
0 &(R_{\alpha\beta}＞R_2)
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\)
\(
\begin{eqnarray*}
f(R_{\alpha\beta},R_1,R_2) =1-10\left(\frac{R_{\alpha\beta}-R_1}{R_2-R_1}\right)^3+15\left(\frac{R_{\alpha\beta}-R_1}{R_2-R_1}\right)^4-6\left(\frac{R_{\alpha\beta}-R_1}{R_2-R_1}\right)^5
\end{eqnarray*}
\)
\begin{eqnarray*}
f(R_{\alpha\beta},R_1,R_2) =1-10\left(\frac{R_{\alpha\beta}-R_1}{R_2-R_1}\right)^3+15\left(\frac{R_{\alpha\beta}-R_1}{R_2-R_1}\right)^4-6\left(\frac{R_{\alpha\beta}-R_1}{R_2-R_1}\right)^5
\end{eqnarray*}
\)
iに加わる力は,
\(
\begin{eqnarray*}
&{\bf F}_i^{nonb}=&-\sum_{i \in \alpha,j＞i}\frac{\partial V^{nonb}_{AA}(r_{ij})}{\partial{\bf r}_i} \\
&&-\sum_{\beta\neq\alpha}\left\{\lambda(R_{\alpha\beta})\sum_{j\in\beta}\frac{\partial V^{nonb}_{AA}(r_{ij})}{\partial{\bf r}_i}+[1-\lambda(R_{\alpha\beta})]\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf r}_i}\right\}\\
&&-\sum_{\beta\neq\alpha}\left\{\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial {\bf r}_i}[\sum_{j\in\beta}V^{nonb}_{AA}(r_{ij})-V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta}) ] \right\}
\end{eqnarray*}
\)
\begin{eqnarray*}
&{\bf F}_i^{nonb}=&-\sum_{i \in \alpha,j＞i}\frac{\partial V^{nonb}_{AA}(r_{ij})}{\partial{\bf r}_i} \\
&&-\sum_{\beta\neq\alpha}\left\{\lambda(R_{\alpha\beta})\sum_{j\in\beta}\frac{\partial V^{nonb}_{AA}(r_{ij})}{\partial{\bf r}_i}+[1-\lambda(R_{\alpha\beta})]\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf r}_i}\right\}\\
&&-\sum_{\beta\neq\alpha}\left\{\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial {\bf r}_i}[\sum_{j\in\beta}V^{nonb}_{AA}(r_{ij})-V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta}) ] \right\}
\end{eqnarray*}
\)
ここで
\(
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf r}_i}=\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}\frac{{\bf R}_{\alpha}}{\partial {\bf r}_i}=\frac{m_i}{\sum_{i \in \alpha }m_i}\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}
\end{eqnarray*}
\)
また、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf r}_i}=\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}\frac{{\bf R}_{\alpha}}{\partial {\bf r}_i}=\frac{m_i}{\sum_{i \in \alpha }m_i}\frac{\partial V^{nonb}_{CG}(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}
\end{eqnarray*}
\)
\(
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial {\bf r}_i}=\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}\frac{{\bf R}_{\alpha}}{\partial {\bf r}_i}=\frac{m_i}{\sum_{i \in \alpha }m_i}\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}
\end{eqnarray*}
\)
となる。
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial {\bf r}_i}=\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}\frac{{\bf R}_{\alpha}}{\partial {\bf r}_i}=\frac{m_i}{\sum_{i \in \alpha }m_i}\frac{\partial \lambda(R_{\alpha\beta})}{\partial{\bf R}_{\alpha}}
\end{eqnarray*}
\)
セットアップ
\(R_1=6,9Å,R_2=9,12Å\)として計算し、CGのカットオフは\(12Å\)としている。また、温度制御はLangvein thermostatを使用した。
思う所
- そもそも、静電相互作用もファンデルワールスと同様に、カットオフ法を用いてよいのか？というか、CGの相互作用って静電相互作用のみ依存するだろうけどCG間の相互作用で、ちゃんと静電相互作用を扱えているのか？
- 自由エネルギー計算が難しそう。サンプリングにCG粒子のバイアスがかかっているので、うまくReweightしなければならないと思う。
